Міри мінливості

Міри мінливості — статистичні показники варіації (розкиду) ознаки (змінної) відносно середнього значення, ступеня індивідуальних відхилень від центральної тенденції розподілу. Міри мінливості дають змогу судити про достовірність і однорідність отриманої емпірично сукупності даних, суттєвість подібностей і відмінностей у розподілі та порівнюваних групах розподілів, точність проведених вимірювань. Одна й та сама середня величина може характеризувати сукупності даних, у яких розміри варіації ознаки значно відрізняються одне від одного. Так, наприклад, при обстеженні рівня досягнень з окремого предмета двох груп учнів може виявитися, що x̄₁ = x̄₂, однак у першій групі показники щільно концентруються біля x̄₁, що відображає однаковий, стабільний рівень підготовки, а в другій спостерігається значний розкид (частина учнів, припустімо, через індивідуальні інтереси і самостійну поглиблену підготовку досягає дуже добрих результатів, тоді як більшість інших мають показники суттєво нижчі, ніж у першій групі).

Найпростішим і наочним способом подання розкиду даних є розмах розподілу, тобто різниця між найвищим і найнижчим результатами. Однак ця міра мінливості неточна і нестійка, оскільки характеризує лише два показники у вибірці незалежно від обсягу останньої. Випадковий, незвично низький або високий результат може помітно вплинути на величину розмаху. Точніша міра мінливості ґрунтується на врахуванні різниці між кожним індивідуальним результатом і середнім значенням по групі. Таким показником є середнє абсолютне (лінійне, арифметичне) відхилення (d):

d = Σ|xᵢ − x̄| / n,

де |xᵢ − x̄| означає, що підсумовуються значення відхилень від x̄ без урахування знака, n — обсяг сукупності.

Недолік показника d полягає в тому, що він не враховує знак відхилення, тому значно інформативнішими мірами мінливості є дисперсія і середнє квадратичне відхилення.

Дисперсія являє собою середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від їхньої середньої величини і позначається σ²:

σ² = Σ(x − x̄)² / n,

де Σ(x − x̄)² — сума квадратів різниць між середнім та індивідуальним значенням ознаки; n — кількість варіант. Розрахунок дисперсії застосовують для виокремлення вибіркової сукупності, визначення похибки вибірки, однорідності досліджуваної сукупності за тією чи іншою ознакою. Він лежить в основі факторного аналізу, дисперсійного аналізу і низки інших статистичних методів.

Застосування дисперсії як міри мінливості не завжди зручне, оскільки розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності досліджуваної ознаки. Тому для вимірювання варіації обчислюють середнє квадратичне відхилення σ, що дорівнює квадратному кореню із середнього квадрата відхилень індивідуальних значень ознаки від середнього, тобто з дисперсії:

σ = √(Σ(x − x̄)² / n).

Слід зауважити, що точнішою характеристикою дисперсії є величина Σ(x − x̄)² / (n − 1). Така поправка необхідна при невеликих статистичних вибірках.

Величина квадратного кореня з дисперсії має також назву стандартного відхилення (σ, Sₓ). Стандартне відхилення є загальновживаною мірою варіації, оскільки для багатьох розподілів, що наближаються до нормального, ми приблизно знаємо, який відсоток даних лежить у межах одного, двох, трьох і більше стандартних відхилень від середнього. Дисперсія і середнє квадратичне відхилення як міри варіації ознаки мають деякі недоліки. Вони недостатньо точно характеризують мінливість ознаки, оскільки відображають абсолютний розмір відхилень. Це незручно при зіставленні розподілів з різною розмірністю і значенням ознак. Для усунення цього недоліку абсолютні числа переводять у відносні. Відношення квадратичного відхилення до середньої, виражене у відсотках, називається коефіцієнтом варіації V:

V = (σ / x̄) · 100 %.

Відношення середнього лінійного відхилення до середньої арифметичної, виражене у відсотках, називається лінійним коефіцієнтом варіації:

V_d = (d / x̄) · 100 %.

Відношення розмаху варіації (R) до середньої арифметичної, виражене у відсотках, називається коефіцієнтом осциляції:

V_R = (R / x̄) · 100 %.