Міри центральної тенденції

Міри центральної тенденції — характеристики сукупності змінних (ознак), що вказують на найтиповіший, репрезентативний для досліджуваної вибірки результат. Якщо припустити, що множина результатів дослідження розташована на числовій прямій, то центральна тенденція виявлятиметься в орієнтації, групуванні результатів відносно певної ділянки цієї прямої. Міри центральної тенденції є найширше застосовуваними статистичними показниками, що використовуються не лише для характеристики кількісних ознак, виражених в інтервальних шкалах, а й для аналізу якісних ознак у порядкових шкалах шляхом приписування їм кількісних індексів. Найпоширенішими мірами центральної тенденції є середні величини.

1. Проста середня арифметична:

x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + ... + xₙ) / n,

де x₁ ... xₙ — значення змінної, n — кількість спостережень.

2. Зважена середня арифметична:

x̄ = (x₁n₁ + x₂n₂ + x₃n₃ + ... + xₖnₖ) / (n₁ + n₂ + ... + nₖ),

тобто зважена дорівнює відношенню суми добутків кожного значення змінної на її питому вагу до суми ваг. При розрахунку зваженої середньої інтервального ряду за вихідні варіанти беруть середини інтервалів, що визначаються як прості середні крайніх значень кожного інтервалу.

3. Середня геометрична:

G = ᵏ√(x₁x₂ ... xₖ).

4. Середня гармонічна:

H = Σnᵢ / Σ(nᵢ / xᵢ),

де xᵢ — значення змінної, nᵢ — частоти трапляння ознаки.

5. Середня квадратична (S) певною мірою відображає міру мінливості ознаки і визначається за формулою:

S = √(Σxᵢ²nᵢ / Σnᵢ).

Середню квадратичну використовують при обчисленні середнього квадратичного відхилення.

Іншими поширеними мірами центральної тенденції є мода і медіана.

Мода (Mo) — значення, що найчастіше трапляється в ряду змінних. Для випадків, коли всі значення у вибірці трапляються однаково часто, вважають, що розподіл не має моди. Якщо два сусідні значення мають однакову частоту і ця частота більша за частоти інших значень, мода є середнім цих двох значень. У разі, якщо два несуміжні значення мають рівні частоти і вони перевищують частоти інших значень, існують дві моди.

У психологічній діагностиці визначення Mo використовують для з'ясування значень ознак, розташованих в інтервальних шкалах, що трапляються найчастіше. З цією метою визначають модальний інтервал, у межах якого перебуває Mo, а потім — наближене значення модальної величини ознаки за формулою:

Mo = x₀ + h · (fₘ − fₘ₋₁) / ((fₘ − fₘ₋₁) + (fₘ − fₘ₊₁)),

де x₀ — нижня межа модального інтервалу, h — величина інтервалу, fₘ — частота модального інтервалу, fₘ₋₁ — частота інтервалу, що передує модальному, fₘ₊₁ — частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіана (Me) — значення, яке ділить навпіл упорядковану множину змінних, розташованих у порядку зростання або спадання. Так, якщо в розподілі фігурують стандартні IQ-оцінки, Me буде точка шкали, що відповідає 100 балам.

При виборі та інтерпретації мір центральної тенденції необхідно враховувати такі особливості та правила використання наведених показників: 1. При визначенні середніх величин необхідне ретельне дотримання вимог однорідності змінних, репрезентативності та достатності обсягу вибірки. 2. Розрахунку середніх величин має передувати попередній поділ досліджуваної сукупності на якісно однорідні групи. 3. Будучи узагальненою характеристикою ряду, міри центральної тенденції не дають змоги враховувати його варіації. Поряд із мірами центральної тенденції обов'язкове використання мір розсіювання (див. Міри мінливості). 4. Me не залежить від величин і частот трапляння в межах певної множини змінних. 5. У малих сукупностях Mo нестабільна і може сильно змінюватися при одиничних і незначних варіаціях змінних. 6. Кожне значення змінної впливає на величину середніх. Якщо якесь одне значення змінюється на C одиниць, x̄ змінюється в тому самому напрямі на C/n одиниць. Ця властивість особливо важлива з погляду виникнення похибок середніх через значення змінних, що виділяються. 7. В унімодальних симетричних вибірках середнє, Me і Mo збігаються.