Нормальний розподіл

Нормальний розподіл — вид розподілу змінних. Нормальний розподіл спостерігається за зміни ознаки (змінної) під впливом безлічі відносно незалежних чинників. Графік рівняння нормального розподілу являє собою симетричну унімодальну дзвоноподібну криву, віссю симетрії якої є вертикаль (ордината), проведена через точку 0 (рис. 53).

Криву нормального розподілу було побудовано для простого апроксимативного розв'язання задачі ймовірності частот подій. Нормальна крива описується формулою де Муавра:

U = 1/(σ√(2π)) · e^(−(xi − x̄)²/(2σ²)),

де U — висота кривої над кожним заданим значенням xi, x̄ — середнє арифметичне xi, σ — середньоквадратичне відхилення від x̄. Теоретично існує нескінченна множина нормальних кривих з конкретними значеннями M і σ. Під час стандартизації тестових оцінок і в деяких інших випадках використовується нормальний розподіл з такими характеристиками: M = 0; σ = 1; площа під нормальною кривою дорівнює одиниці. Такий розподіл називається стандартним (одиничним) нормальним розподілом. Для будь-якого нормального розподілу в межах значень M ± σ лежить близько 68 %, у межах M ± 2σ — 95 %, M ± 3σ — 99,7 % площі під кривою. Частоти випадків, що вкладаються в інтервали, обмежені значеннями від M ± σ до M ± 4σ, становлять 68,26 %; 95,44 %; 99,72 %; 99,98 % відповідно (рис. 53).

Висота кривої (U) над значенням M приблизно дорівнює 0,3989. Асиметрія стандартної, як і будь-якої іншої нормальної кривої, дорівнює нулю, ексцес (Q) — трьом (див. Оцінка типу розподілу). Розподіл показників, отримуваних в емпіричних психологічних і психодіагностичних дослідженнях за великої кількості спостережень, як правило, наближається до нормального.

На практиці важливу роль відіграє обчислення площі ліворуч від будь-якої точки на осі абсцис, обмеженої ділянкою нормальної кривої та ординатою цієї точки. Оскільки площа стандартного нормального розподілу дорівнює одиниці, то частка цієї площі відображає частоту випадків з xi, меншими за дане значення на осі X. Розв'язувати рівняння де Муавра для будь-якого значення x незручно, тому для визначення площі ліворуч від даного значення в різних нормальних розподілах (за віссю z) є спеціальні таблиці (див. табл. 1 Додатка III). Найважливішою властивістю нормального розподілу є те, що для сімейства нормальних кривих характерні однакові частки площ, що лежать під ділянками, обмеженими рівними значеннями σ. При цьому будь-яку нормальну криву можна звести до одиничної й таким чином відповісти на запитання про площу між обраними точками на кривій або висоту кривої над будь-якою з точок осі X. Форма нормальної кривої не змінюється при відніманні середнього значення й діленні на σ. Так, якщо треба з'ясувати, яка частина площі лежить ліворуч від значення x = 20 у нормальному розподілі з x̄ = 25 і σ = 5, це завдання можна замінити з'ясуванням площі, що лежить ліворуч від z = (20 − 25)/5 = −1 в одиничному нормальному розподілі. Для стандартного нормального розподілу значення z указує, що точка віддалена від середнього на z одиниць (стандартних відхилень).

Відхилення значення від середнього — x − x̄, а кількість стандартних відхилень, яка відділяє x від x̄, становить (x − x̄)/σ — одиничне нормальне відхилення (z).

Розглянута вище закономірність узагальнюється правилом: якщо x має нормальний розподіл із середнім x̄ і стандартним відхиленням σ, то z = (x − x̄)/σ характеризується нормальним розподілом із середнім 0 і стандартним відхиленням 1. Площа між x1 і x2 у нормальному розподілі із середнім x̄ і стандартним відхиленням σ дорівнює площі між z1 = (x1 − x̄)/σ і z2 = (x2 − x̄)/σ в одиничному нормальному розподілі.

Припустімо, результати вимірювання IQ-показників у вибірці з досить великою кількістю обстежених (n) мають властивості нормального розподілу. Значення x̄ = 4,52, σ = 3; тоді в точці зі значенням IQ-показника 10,4 z = (10,4 − 4,52)/3 = 1,96. Для цього значення площа ліворуч від z становитиме 0,975 (97,5 %). Це означає, що лише в 2,5 % досліджуваних оцінки IQ перевищують 10,4.

Можна визначити, яка кількість членів вибірки вкладається в інтервал оцінок від 10,4 до 8,3. Тоді z = (8,3 − 4,52)/3 = 1,27. Площа ліворуч від z для цього значення становитиме 0,1020 (10,2 %). Отже, кількість осіб, які мають оцінку нижче 8,3, становить 89,8 %, а кількість осіб з оцінкою в інтервалі 8,3–10,4 становить 97,5 − 89,8 = 7,7 %.

Кількість випадків у межах стандартного відхилення можна легко визначити без розрахунків. Так, в інтервалі оцінок, що відповідають −2σ і −σ, перебуває 13,6 % обстежених (див. рис. 53).

Нормальний розподіл найчастіше застосовують для статистичного опису сукупності емпіричних даних, оцінювання генеральної сукупності за вибіркою, для стандартного нормування тестових балів і переведення їх у шкальні оцінки (див. Стандартизація). На властивостях нормального розподілу ґрунтуються статистичні критерії перевірки гіпотез (z-критерій, критерій χ², F-критерій Фішера, t-критерій Стьюдента та ін.). z-Критерій широко застосовують для перевірки коефіцієнтів кореляції:

z = r·√(n − 1),

де r — значення коефіцієнта кореляції, n — кількість спостережень. Напр., під час зіставлення двох рядів змінних у вибірці з 50 досліджуваних отримано коефіцієнт кореляції r, що дорівнює 0,8. Тоді z = 0,8 · √49 = 5,6. Далі треба знайти ординату нормального розподілу (див. Кореляція бісеріальна) згідно з рівнянням:

U = (1 − 2α)/2,

де α — допустимий рівень значущості (α = 0,05): U = (1 − 2 · 0,05) : 2 = 0,45. За статистичними таблицями визначають, що ординаті U = 0,45 відповідає zкр = 1,65. У нашому прикладі z > zкр, обчислений коефіцієнт кореляції значущий на рівні α < 0,05 і лише менш ніж у 5 % випадків дорівнює нулю.