Кореляційний аналіз

Кореляційний аналіз — комплекс методів статистичного дослідження взаємозалежності між змінними, пов'язаними кореляційними відношеннями. Кореляційними (лат. correlatio — співвідношення, зв'язок, залежність) вважаються такі відношення між змінними, за яких виступає переважно нелінійна їхня залежність, тобто значенню будь-якої довільно взятої змінної одного ряду може відповідати певна кількість значень змінної іншого ряду, що відхиляються в той чи інший бік від середнього.

Кореляційний аналіз виступає як один із допоміжних методів розв'язання теоретичних завдань психодіагностики і містить комплекс найширше застосовуваних статистичних процедур при розробленні тестових та інших психодіагностичних методик, визначенні їхньої надійності, валідності. Кореляційний аналіз є одним з основних методів статистичного опрацювання емпіричного матеріалу в прикладних психодіагностичних дослідженнях. Наявні процедури кореляційного аналізу дають змогу визначити ступінь значущості зв'язку, встановити міру і напрямок впливу однієї з ознак (X) на результативну ознаку (Y) за фіксованого значення окремих змінних (часткова кореляція), виявити ступінь і спрямованість зв'язку результативної ознаки (Y) із сукупністю змінних x1, x2, ..., xk (множинна кореляція). Кореляційному аналізу підлягають як кількісні, так і якісні ознаки (до перших належать змінні, що вимірюються в інтервальній шкалі та шкалі відношень, до других — ті, що не мають одиниць вимірювання, оцінювані шкалами найменувань і порядковими шкалами) (див. Шкали вимірювальні). Може бути встановлена також кореляція і для ознак, одна з яких є якісною, а інші — кількісними (бісеріальна кореляція, кореляція якісних ознак).

Одним з основних принципів визначення кількісних критеріїв кореляційного зв'язку — коефіцієнтів кореляції — є порівняння величин відхилень від середнього значення за кожною групою в спряжених парах порівнюваних рядів змінних. Інакше кажучи, визначається частота відповідності між шкалами X і Y. Припустимо, той самий досліджуваний отримав високі оцінки за тестом вербальних здібностей (xi) і показниками успішності з літератури (yi). Тоді добутки відхилень xi − x̄ і yi − ȳ набувають високих позитивних значень. Якщо ж великому xi в іншого досліджуваного відповідатиме мале yi, то цей добуток буде негативним. Абсолютна величина добутку відхилень залежить від ступеня відхилення змінних від середнього значення в порівнюваних парах. Якщо X і Y не мають систематичного зв'язку (великі x поєднуються з малими y і навпаки), різні добутки набуватимуть позитивних або негативних значень. Сума добутків у всіх порівнюваних парах

Σ (xi − x̄)(yi − ȳ), i = 1, ..., n

наближатиметься до нуля. Сума добутків у порівнюваних рядах змінних матиме велику величину за модулем і позитивний знак, якщо X і Y пов'язані між собою вираженою прямою залежністю, і велику величину та негативний знак за сильної оберненої залежності між X і Y.

З метою досягнення незалежності міри кореляційного зв'язку від кількості порівнюваних пар і величин стандартних відхилень у двох групах добуток відхилень ділять на кількість порівнюваних пар і стандартні відхилення в зіставних рядах. Така міра має назву коефіцієнта кореляції — добутку моментів Пірсона:

rxy = Σ (xi − x̄)(yi − ȳ) / ((n − 1) σx σy),

де xi та yi — порівнювані кількісні ознаки, n — кількість порівнюваних спостережень, σx і σy — стандартні відхилення в зіставних рядах. Розрахункова формула rxy має такий вигляд:

rxy = (n Σ xiyi − Σ xi Σ yi) / √([n Σ xi² − (Σ xi)²] [n Σ yi² − (Σ yi)²]).

При обчисленні коефіцієнта Пірсона, особливо за великої кількості спостережень, доцільне спрощення за рахунок різних прийомів, що скорочують обсяг обчислень. Як приклад наводимо розрахунок результатів двох тестів у групі з 10 обстежених (табл. 22).

Таблиця 22. Обчислення коефіцієнта кореляції добутку моментів Пірсона (rxy)

σx = √(272,2 / 10) = 5,22; σy = √(36,8 / 10) = 1,92;

rxy = 69,4 / (10 · 5,22 · 1,92) = 0,69.

Визначення статистичної значущості коефіцієнта rxy проводять за допомогою критерію Стьюдента (t):

t = rxy √n′ / √(1 − rxy²),

де n′ — кількість ступенів свободи (n′ = n − 2). За таблицею розподілу Стьюдента для n′ = 8 знаходимо t = 2,896 при α = 0,02 і t = 2,306 при α = 0,05. Звідси статистична значущість встановленого значення кореляції ознак на рівні α > 0,02.

Піднісши коефіцієнт кореляції Пірсона до квадрата, отримуємо коефіцієнт детермінації r²xy, що виражає ступінь варіації змінних. У нашому прикладі r²xy = 0,48, що свідчить про те, що 48 % вимірювань ознак пояснюються їх спільним розподілом (взаємовпливом).