Критерій χ²

Критерій χ² (критерій згоди Пірсона) — характеристика розподілу, що використовується для перевірки статистичних гіпотез. Під статистичним критерієм розуміють правило, яке забезпечує з певною ймовірністю прийняття істинної або відхилення хибної гіпотези. Як критерії в математичній статистиці застосовують певні випадкові величини, що є функціями досліджуваних випадкових величин і чисел ступенів свободи. Одним із найчастіше застосовуваних є критерій χ², що являє собою суму квадратів відхилень емпіричних частот (p) від теоретичних, або очікуваних (p'), віднесену до теоретичних частот:

χ² = Σ (p − p')² / p'.

При повному збігу емпіричних і очікуваних частот Σ(p − p') = 0. При розбіжності порівнюють емпіричну величину χ² з її критичним значенням, визначеним за таблицями (див. Додаток III, табл. 3).

Нульова гіпотеза, яка передбачає, що розбіжність між емпіричними частотами і математичним сподіванням має випадковий характер і між обчисленими та емпіричними частотами різниці немає, спростовується, якщо χ² > χ²кр для прийнятого рівня значущості (α) і кількості ступенів свободи (df).

Як приклад проаналізуємо за допомогою критерію χ² розподіл частот вибору відповіді на закритий пункт тесту (див. Завдання закритого типу). Запропоновані варіанти неправильних відповідей мають бути приблизно рівноймовірними. При обстеженні 100 осіб, які відповідають на перевірюваний пункт неправильно, результати розподілилися так (табл. 27).

Таблиця 27. Розподіл помилкових відповідей на репертуар закритого завдання тесту у 100 обстежених

Обчислення: χ² = 190 : 20 = 9,5.

Ступінь свободи для цього випадку df = n − 1 = 4 (де n — кількість варіантів відповіді). За табл. 3 Додатка III для α = 0,01 і df = 4 знаходимо χ²кр = 13,28. Отримане значення χ² = 9,5 менше за табличне. Отже, при розв'язанні задачі може бути прийнята гіпотеза про приблизно рівноймовірний розподіл вибору відповідей a, b, c, d, e. При повторних випадкових вибірках імовірність хибного висновку становитиме 1 %.

Як інший приклад розглянемо перевірку нормальності розподілу тестових оцінок (див. Оцінка типу розподілу). Вихідні дані наведено в табл. 28, 29. Кількість ступенів свободи визначається в цьому разі, виходячи з властивостей нормального розподілу, df = k − 3 (обмеження свободи варіації x̄, Sₓ, n).

Таблиця 28. Розподіл частот первинних оцінок за тестом

Унаслідок об'єднання частот у крайніх класах (див. нижче) кількість класів скоротилася з 9 до 7, тоді df = 4. За таблицею критичних значень χ² для α = 0,05 знаходимо χ²кр = 9,49; χ² < χ²кр, отже, розподіл тестових оцінок підпорядковується нормальному закону, розбіжності між емпіричним і нормальним розподілом випадкові й несуттєві.

Як видно з цього прикладу, для перевірки гіпотези про закон розподілу необхідно зіставити емпіричні та розрахункові теоретичні частоти. Останні розраховують на підставі емпіричних даних за формулами, що описують той чи інший закон розподілу ймовірностей. Так, для перевірки нормальності розподілу теоретичні частоти розраховують за формулою:

p' = f(z) · nλ / Sₓ,

де p' — теоретично обчислені, або очікувані, частоти емпіричного ряду, f(z) — значення функції нормованого відхилення (див. Нормальний розподіл, Стандартизація, Оцінки шкальні), n — загальна кількість спостережень, λ — величина класового інтервалу, або проміжок між сусідніми класами емпіричного ряду, Sₓ — середнє квадратичне відхилення емпіричного ряду.

Для наведеного вище прикладу розрахунок зводиться до нормування емпіричного ряду, тобто віднесення відхилень xᵢ від середньої x̄ до величини Sₓ. Потім за табл. 1 (Додаток III) визначають значення ординати нормальної кривої f(z) для кожного z = (xᵢ − x̄) / Sₓ. Значення x̄ = 14,74; Sₓ = 1,35; nλ / Sₓ = 267 · 1 / 1,35 ≈ 198. Приклад розрахунку наведено в табл. 29.

Таблиця 29. Розрахунок теоретичних частот, що відповідають нормальному розподілу первинних тестових оцінок

Критерій χ² можна використовувати для порівняння емпіричних рядів із частотами, розподіленими за одними й тими самими класами. У цьому разі застосовують формулу:

χ² = (1 / (n₁n₂)) · Σ (n₁p₂ − n₂p₁)² / (p₁ + p₂),

де n₁ і n₂ — обсяги порівнюваних вибірок, p₁ і p₂ — частоти першого і другого рядів. Нульова гіпотеза зводиться до того, що порівнювані вибірки взято з однієї й тієї самої генеральної сукупності і, отже, розбіжність між частотами p₁ і p₂ має випадковий характер.

Критерій χ² зазвичай використовують для перевірки гіпотез про відповідність (згоду) емпіричного розподілу теоретичному (див. наведені вище приклади), при перевірці гіпотез про статистичну незалежність ознак (при χ² > χ²кр припущення про відсутність зв'язку між ознаками відкидається; тісноту зв'язку можна розрахувати за допомогою коефіцієнта спряженості Пірсона, див. Кореляція якісних ознак), при підтвердженні гіпотези про однорідність розподілу ознак у різних сукупностях (у цьому разі нульову гіпотезу формулюють як припущення про подібність розподілу ознаки у двох генеральних сукупностях, з яких узято незалежні вибірки обсягами nₘ і nₖ):

χ² = nₘnₖ · Σ (xₘᵢ / nₘ − xₖᵢ / nₖ)² / (xₘᵢ + xₖᵢ).

Перевагами критерію χ² є його застосовність для різних розподілів дискретних і неперервних ознак, необов'язковість попередніх відомостей про закон розподілу досліджуваної змінної. При використанні критерію χ² слід ураховувати такі обмеження: - порівнювані вибірки мають бути отримані з незалежних спостережень; - мінімальне значення емпіричної частоти не повинно бути меншим за 10, теоретичної — меншим за 5. Якщо ця вимога не виконується, необхідно збільшити обсяг вибірки або об'єднати інтервали групування, підсумувавши їхні частоти (див. вище приклад порівняння емпіричного і нормального розподілу).